Trækkraftberegninger
af Erik Olsen
Flemming Lund fra DMJK har i Signalposten skrevet to udmærkede artikler om trækkraftberegning: 1971 nr. 5: Effektbehovdiagram, og 1975 nr. 5: Trækkraft - og andre kræfter. De er primært skrevet for skala 0 (1:45) med sideliggende strømskinne. Jeg har haft megen glæde af de to artikler; der mangler imidlertid en væsentlig detalje, nemlig beregning af det mekaniske udvekslingsforhold mellem motor og drivhjul, ligesom der mangler beregning af køremodstand fra strømaftagere ved toskinnedrift.
Da jeg købte en pc, ønskede jeg naturligvis også at kunne bruge den til trækkraftberegninger, hvor Flemmings artikler bruger forenklede metoder og manuel beregning eller brug af diagrammer. Jeg har derfor lavet et regneark i pc-programmet Excel (findes også til Lotus 1-2-3 og Works) som er beregnet til lokomotiver for toskinnedrift, strømaftagernes placering og udførelse har faktisk betydning. Her får jeg automatisk det hele med, og der er ikke problemer med regnefejl. Interesserede kan downloade en kopi af regnearket; der også er en kortfattet vejledning med.
De følgende tre filer er pakkede zip-filer, man skal have installeret WinZip for at kunne pakke dem ud.
- blok_xls.zip, unzip for at danne berlok.xls - trækkraftberegning til Microsoft Excel 5.0 og senere.
- blok_wk4.zip, unzip for at danne berlok.wk4 - trækkraftberegning til Lotus 1-2-3 rel. 5 og senere.
- blok_wks.zip, unzip for at danne berlok.wks - trækkraftberegning til Microsoft Works 4.0.
De følgende tre filer er selv-udpakkende exe-filer, de fylder mere og tager derfor længere tid at downloade, men kræver ikke at WinZip er installeret:
- blok_xls.exe, kør filen for at danne berlok.xls - trækkraftberegning til Microsoft Excel 5.0 og senere.
- blok_wk4.exe, kør filen for at danne berlok.wk4 - trækkraftberegning til Lotus 1-2-3 rel. 5 og senere.
- blok_wks.exe, kør filen for at danne berlok.wks - trækkraftberegning til Microsoft Works 4.0.
Vejledning
I det følgende bringes en detaljeret gennemgang af regnearket og beregningerne deri. Det bliver til tider lidt teknisk, men selve brugen af regnearket kræver kun at man har et af de tre programmer, og forstår hvilke tal der skal indtastes. I regnearket er alle celler der skal udfyldes af brugeren, markeret med gult, de øvrige celler er beskyttet. For at lette forståelsen bringes først en kort gennemgang af nogle anvendte fysiske størrelser, og i hvilke enheder de måles. Der anvendes generelt SI-enheder, med de få undtagelser der nævnes særligt, i modsætning til Flemmings artikel der anvender ældre måleenheder.
- Længde, bredde, tykkelse og diameter måles i m (meter), 1 m = 1000 mm. (millimeter)
- Masse (i ældre tid kaldet "vægt") måles i kg (kilogram), 1 kg = 1000 g (gram).
- Kraft måles i N (Newton), 1 N = 1000 mN (milliNewton)
Bemærk: I ældre tid måltes kraft i kp (kilopond), før da også i kg (kilogramkraft, til tider forkortet kgf). Vægten af et 1 kg-lod (som har massen 1 kg) er tyngdekraftens træk i massen, altså en kraft; den beregnes som massen gange tyngdeaccelerationen g (som på jorden er ca. 9,81 m/s2), altså 1 x 9,81 = 9,81 N, eller omtrentligt 10 N.
- Drejningsmoment (kraft gange arm) måles i Nm (Newtonmeter eller Newton gange meter), 1 Nm = 1000 mNm (milliNewtonmeter) = 1000 Nmm (Newtonmillimeter).
- Tid måles i s (sekunder), 1 min (minut) = 60 s, 1 h (time) = 3600 s (her anvendes dog km/t for kilometer pr. time).
- Omdrejningshastighed måles i SI-systemet i rad/s (radianer pr. sekund, 1 radian = 57,3°); i teknisk sammenhæng, og således også her, anvendes ofte omdr/min (omdrejninger pr. minut); 1 rad/s = 9,55 omdr/min.
- Arbejde og energi måles i J (Joule), i Ws (Wattsekunder) eller i Nm (Newtonmeter)
- Effekt er arbejde eller energi pr. tidsenhed og måles i W (Watt), 1 W = 1000 mW (milliWatt).
- Elektrisk strøm måles i A (Ampere), 1 A = 1000 mA (milliAmpere).
- Elektrisk spænding måles i V (Volt), 1 V = 1000 mV (milliVolt).
Indsæt følgende data for prototypen:
I dette afsnit indtastes data for det virkelige køretøj (prototypen):
- Antal hjulsæt (forløber, driv- og kobbel, bagløber, tender) indsættes som heltal,
- Hjuldiametre indsættes i mm,
- Maksimal kørehastighed indsættes i km/t.
Indsæt følgende data for modellen:
I dette afsnit indtastes data for modellen og de forhold den skal arbejde under, dvs. anlæggets data:
- Målforhold indsættes som "87" hvis målforholdet er 1:87, analogt i øvrige målforhold.
- Minimum kurveradius indsættes i mm.
- Maksimum stigning indsættes i promille (mm pr. m).
- Lokomotivets masse ("vægt") indsættes i kg.
- Tenderens masse ("vægt") indsættes i kg.
- Friktionskoefficient hjul/skinne indsættes med stål/nysølv = 0,25, nysølv el. messing/nysølv = 0,20.
- Akseltryk forløberhjulsæt indsættes i N.
- Akseltryk bagløberhjulsæt indsættes i N.
Mindste værdi af akseltryk bør være: 1:45: 1,2 N (122 g); 1:87: 0,25 N (25 g); 1:160: 0,05 N (5 g).
- Akseldiameter forløberhjulsæt indsættes i mm.
- Akseldiameter driv- og kobbelhjulsæt indsættes i mm.
- Akseldiameter bagløberhjulsæt indsættes i mm.
- Akseldiameter tenderhjulsæt indsættes i mm.
Ved pinollejer kan bruges flg. akseldiametre: I 1:45 0,8 mm, 1:87 0,4 mm og 1:160 0,2 mm.
Lejefriktionskoefficienter for:
- Forløberhjulsæt
- Driv- og kobbelhjulsæt
- Bagløberhjulsæt
- Tenderhjulsæt
indsættes med følgende værdier afhængigt af de anvendte materialer:
- Slebet stålaksel mod sintret broncebøsning, smurt = 0,10
- Slebet stålaksel mod teflonbøsning, tørt = 0,12
- Slebet stålaksel mod messing eller zink, smurt = 0,15
- Pinollejer, tørt = 0,12
Strømaftagere:
- Antal forløberhjulsæt med strømaftagere
- Antal driv-/kobbelhjulsæt med strømaftagere
- Antal bagløberhjulsæt med strømaftagere
- Antal tenderhjulsæt med strømaftagere
indsættes alle som heltal; et sæt strømaftagere består af en strømaftager på hvert af et hjulsæts to hjul, indsæt derfor det antal hjulsæt som er forsynet med strømaftagere.
- Kontakttryk pr. strømaftager indsættes i N; typiske værdier: 1:45: 0,2-0,5 N; 1:87: 0,05-0,1 N; 1:160: 0,01-0,02 N.
- Friktionskoefficient strømaftagere indsættes; typiske værdier: Bronce/stål = 0,10; messing/stål el. nysølv = 0,15.
Beregnede værdier for modellen:
I dette afsnit omregnes alle prototypens mål til modelmål, og følgende beregnes:
- Adhæsionsvægt (den kraft der hviler på driv- og kobbelhjul) = lokomotivets masse gange tyngdeaccelerationen minus antal forløberaksler gange akseltryk forløberhjulsæt minus antal bagløberaksler gange akseltryk bagløberhjulsæt.
- Forløberlejemodstand = antal forløberhjulsæt gange akseltryk forløberaksler gange lejefriktionskoefficient forløberhjulsæt gange akseldiameter forløberhjulsæt divideret med diameter af forløberhjul.
- Bagløberlejemodstand = antal bagløberhjulsæt gange akseltryk bagløberaksler gange lejefriktionskoefficient bagløberhjulsæt gange akseldiameter bagløberhjulsæt divideret med diameter af bagløberhjul.
- Tenderlejemodstand = tenderens masse gange tyngdeaccelerationen gange lejefriktionskoefficient tenderhjulsæt gange akseldiameter tenderhjulsæt divideret med diameter af tenderhjul.
- Strømaftagermodstand = 2 gange antal forløber-, bagløber- og tenderhjulsæt med strømaftagere (á 2 stk.) gange kontakttryk pr. strømaftager gange friktionskoefficient strømaftagere.
- Kurvemodstand = 0,17 gange tyngdeaccelerationen divideret med mindste kurveradius gange (lokomotivets akselafstand gange lokomotivets masse plus tenderens akselafstand gange tenderens masse).
- Stigningsmodstand = samlet masse af lokomotiv og tender gange tyngdeaccelerationen gange største stigning i promille divideret med 1000.
- Trækkraft, maksimal = adhæsionsvægten gange friktionskoefficient hjul/skinne minus forløberlejemodstand minus bagløberlejemodstand minus tenderlejemodstand minus strømaftagermodstand minus kurvemodstand minus stigningsmodstand.
Om formlen for kurvemodstand
Formlen for kurvemodstand er lidt anderledes end i Flemming Lunds artikel "Trækkraft - og andre kræfter". Flemming bruger en graf til at vise kurvemodstand i g/kg for forskellige værdier af akselafstanden, og for to forskellige hjultyper, i en kurve med radius 2000 mm (i skala 0 = 1:45). For akselafstand 200 mm og normhjulsæt med runding mellem løbeflade og flange er kurvemodstanden iflg. Flemming 17 g/kg.
Jeg havde imidlertid brug for en beregningsformel der kunne anvendes i regnearket, og når den skulle kunne anvendes i andre skalaer og med andre kurveradier, måtte kurveradius med i beregningen. Kurvemodstanden er stigende med stigende akselafstand og med aftagende kurveradius. Jeg mener at den vinkel som hjulsættet er drejet i forhold til en linie vinkelret på sporet, har direkte betydning for kurvemodstanden; forholdet a/R hvor a er akselafstanden og R er kurveradius, begge i mm, er et udtryk for denne vinkel. Jeg undersøgte derfor formlen: kurvemodstand = k*m*g*a/R hvor k er en konstant som jeg senere beregnede, m er køretøjets masse i kg og g er tyngdeaccelerationen = 9,81 m/s2.
Jeg målte kurvemodstanden på nogle af mine egne vogne i 1:45, og lagde i nogle tilfælde ekstra vægt i vognene. Spredningen på måleresultaterne var stor, men sammenfattende fandt jeg at en værdi af k på 0,17 passer meget godt. Hermed fås den formel der er anvendt i regnearket. Værdien kurvemodstand/(m*g) = 0,17*a/R kan så beregnes til 0,17*200/2000 = 0,017 eller 17 g/kg for 200 mm akselafstand i en kurve med 2000 mm radius, altså den samme som Flemmings værdi. For mindre akselafstande får jeg en lidt højere værdi end Flemming.
Forudsætningen er at der anvendes normhjul med runding mellem løbeflade og flange (f. eks. NEM 311 eller NMRA RP25), ellers kan kurvemodstanden blive højere. Det er muligt at hjuldiameteren og tværspillerummet mellem spor og hjulsæt også har betydning for kurvemodstanden, men dette har jeg ikke undersøgt.
Drejningsmomenter på driv- og kobbelhjulsæt:
I dette afsnit beregnes
- Friktionsmoment hjul/skinne = adhæsionsvægten gange friktionskoefficient hjul/skinne gange diameter af driv- og kobbelhjul divideret med 2.
- Lejefriktionsmoment = adhæsionsvægten gange lejefriktionskoefficient driv- og kobbelhjulsæt gange akseldiameter driv- og kobbelhjulsæt divideret med 2.
- Strømaftagerfriktionsmoment = antal driv- og kobbelhjulsæt med strømaftagere (á 2 stk.) gange kontakttryk pr. strømaftager gange friktionskoefficient strømaftagere gange diameter af driv- og kobbelhjul.
- Drejningsmoment i alt = Friktionsmoment hjul/skinne plus lejefriktionsmoment plus strømaftagerfriktionsmoment.
Motordata:
I dette afsnit indtastes følgende data for den valgte motor. Data for forskellige Faulhabermotorer findes til højre i regnearket i de samme rækker; se artiklen Faulhaber-motorer og -gear i modellokomotiver om yderligere oplysninger om disse.
- Motortype.
- Tomlast-omdrejningstal = motorens omdrejningstal i omdr/min helt uden belastning.
- Friktionsmoment = friktionsmoment i mNm fra motorens lejer og børster/kommutator der gør at motoren ikke i praksis kan nå op på tomlast-omdrejningstallet.
- Hældning af M-n kurve = udtryk for hvor meget omdrejningstallet n falder når motoren belastes med drejningsmomentet M, i omdr/min pr. Nmm.
- Maksimalt driftmoment = det største moment i Nmm motoren kan tåle at belastes med kontinuert.
- Maksimal effekt = den største afgivne effekt i W motoren kan tåle at arbejde med kontinuert.
- Forventet belastningsfaktor motor: Der indtastes et tal mellem 0 og 1 (typisk 0,4-0,9) så værdien i celle B71 (nedenunder) svarer nogenlunde til den beregnede værdi i celle B91; værdien må i reglen rettes flere gange.
Dernæst beregnes:
- Forventet driftmoment motor = maksimalt driftmoment gange forventet belastningsfaktor.
- Forventet omdrejningstal motor (ved maks. motorspænding) = tomlast omdrejningstal minus hældning af M-n kurve gange (friktionsmoment plus forventet driftmoment motor).
Geardata:
I dette afsnit beregnes data for modellens gear:
- Driv- og kobbelhjul omdrejningstal = prototypens maksimalhastighed gange 1000 divideret med 60 divideret med (prototypens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 1000 gange med 3,14159).
- Beregnet gearudvekslingsforhold = forventet omdrejningstal motor divideret med driv- og kobbelhjul omdrejningstal.
Dernæst indtastes følgende data:
- Praktisk udvekslingsforhold som et tal nær det beregnede gearudvekslingsforhold som kan realiseres på modellen.
- Antal geartrin med cylindriske tandhjul som et heltal (1 geartrin = 2 tandhjul i indgreb).
- Antal geartrin med koniske tandhjul som et heltal (1 geartrin = 2 tandhjul i indgreb).
- Antal geartrin med skruehjul som et heltal (1 geartrin = 2 tandhjul i indgreb).
- Antal geartrin med snekkeudveksling som et heltal (1 geartrin = 1 snekke og 1 snekkehjul i indgreb).
- Virkningsgrad cylindriske tandhjul som et tal mellem 0,90 og 0,98.
- Virkningsgrad koniske tandhjul som et tal mellem 0,88 og 0,96.
- Virkningsgrad skruehjul som et tal mellem 0,65 og 0,80.
- Virkningsgrad snekkeudveksling som et tal mellem 0,25 og 0,50.
For virkningsgraderne gælder: De højeste tal vælges ved stor nøjagtighed, slebne tænder, effektiv smøring og god lejring (f. eks. kuglelejer); de laveste tal vælges ved moderat nøjagtighed, fræsede tænder, lejlighedsvis smøring og mindre god lejring.
Dernæst beregnes:
- Gearvirkningsgrad i alt = virkningsgrad cylindriske tandhjul opløftet til (antal geartrin med cyl. tandhjul) potens gange virkningsgrad koniske tandhjul opløftet til (antal geartrin med koniske tandhjul) potens gange virkningsgrad skruehjul opløftet til (antal geartrin med skruehjul) potens gange virkningsgrad snekkeudveksling opløftet til (antal geartrin med snekkeudveksling) potens.
Fuldlastdata:
I dette afsnit beregnes følgende data for modellen ved fuldlast og maks. motorspænding:
- Beregnet motormoment = drejningsmoment på driv- og kobbelhjul i alt divideret med praktisk udvekslingsforhold divideret med gearvirkningsgrad i alt.
- Motormoment i forhold til tilladeligt = beregnet motormoment divideret med maksimalt driftmoment (denne værdi skal være under 1).
- Beregnet motoromdrejningstal = tomlast omdrejningstal minus hældning af M-n kurve gange (friktionsmoment plus beregnet motormoment).
- Motoreffekt i forhold til tilladeligt = beregnet motormoment divideret med 1000 gange beregnet motoromdrejningstal divideret med 60 gange med 2 gange med 3,14159 divideret med maksimal effekt.
- Hastighed, omregnet (modelhastighed i km/t) = beregnet motoromdrejningstal divideret med praktisk udvekslingsforhold gange med prototypens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 1000 gange med 3,14159 gange med 60 divideret med 1000.
- Hastighed, virkelig = beregnet motoromdrejningstal divideret med praktisk udvekslingsforhold gange med modellens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 1000 gange med 3,14159 divideret med 60.
Tomlastdata:
I dette afsnit beregnes følgende data for modellen ved tomlast (lokomotiv og tender alene) og maks. motorspænding:
- Beregnet motormoment = ((forløberlejemodstand plus bagløberlejemodstand plus tenderlejemodstand plus strømaftagermodstand plus kurvemodstand plus stigningsmodstand) gange med modellens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 2 plus lejefriktionsmoment plus strømaftagerfriktionsmoment) divideret med praktisk udvekslingsforhold divideret med gearvirkningsgrad i alt.
- Beregnet motoromdrejningstal = tomlast omdrejningstal minus hældning af M-n kurve gange (friktionsmoment plus beregnet motormoment).
- Hastighed, omregnet (modelhastighed i km/t) = beregnet motoromdrejningstal divideret med praktisk udvekslingsforhold gange med prototypens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 1000 gange med 3,14159 gange med 60 divideret med 1000.
- Hastighed, virkelig = beregnet motoromdrejningstal divideret med praktisk udvekslingsforhold gange med modellens driv- og kobbelhjulsdiameter divideret med 1000 gange med 3,14159 divideret med 60.
Hvis de beregnede hastigheder er for høje eller lave, må gearudvekslingsforholdet justeres.
Vogndata:
I dette afsnit indtastes data for en modelvogn for at kunne beregne hvor mange vogne lokomotivet kan trække. Der vælges en vogntype som er normal for den type tog som lokomotivet skal trække.
- Modellens masse indsættes i kg.
- Modellens faste akselafstand indsættes i mm.
- Modellens hjuldiameter indsættes i mm.
- Akseldiameter vognhjulsæt indsættes i mm.
Ved pinollejer kan bruges flg. akseldiametre: I 1:45 0,8 mm, 1:87 0,4 mm og 1:160 0,2 mm.
Lejefriktionskoefficient indsættes med følgende værdier afhængigt af de anvendte materialer:
- Slebet stålaksel mod sintret broncebøsning, smurt = 0,10.
- Slebet stålaksel mod teflonbøsning, tørt = 0,12.
- Slebet stålaksel mod messing eller zink, smurt = 0,15.
- Pinollejer, tørt = 0,12.
Dernæst beregnes:
- Lejemodstand = modellens masse gange 9,81 gange lejefriktionskoefficient gange akseldiameter vognhjulsæt divideret med modellens hjuldiameter.
- Kurvemodstand = 0,17 gange modellens faste akselafstand divideret med minimum kurveradius gange med modellens masse gange 9,81.
- Stigningsmodstand = modellens masse gange 9,81 gange maksimum stigning i promille divideret med 1000.
- Køremodstand i alt = lejemodstand plus kurvemodstand plus stigningsmodstand.
Lokomotivets trækkeevne:
Her beregnes hvor mange vogne lokomotivet kan trække:
- Lokomotivet kan trække = Lokomotivets maksimale trækkraft divideret med køremodstand i alt for vogne.
Ændringer:
2008-03-15: Opdateret til HTML 4.01 Strict.
2009-01-01: Typografi opdateret.
Opdateret 2009-01-01